Bài tự luận · Bài 17
Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Bài tự luận Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° · Bài 17
(KNTT10) Cho góc $\alpha$ thoả mãn $0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$, $\tan\alpha=\sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức
$K=\frac{\sin^3\alpha+\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha+2\sin^2\alpha\cdot\cos\alpha-4\cos^3\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$.
$K=\frac{\sin^3\alpha+\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha+2\sin^2\alpha\cdot\cos\alpha-4\cos^3\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $\tan\alpha=\sqrt{2}>0$ nên $\alpha$ là góc nhọn và $\cos\alpha>0$. Chia cả tử và mẫu của $K$ cho $\cos^3\alpha\neq0$, ta được
$K=\frac{\tan^3\alpha+\tan\alpha+2\tan^2\alpha-4}{\tan\alpha\cdot\left(1+\tan^2\alpha\right)-\left(1+\tan^2\alpha\right)}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4-4}{\sqrt{2}\cdot3-3}=\frac{3\sqrt{2}}{3(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$.
$K=\frac{\tan^3\alpha+\tan\alpha+2\tan^2\alpha-4}{\tan\alpha\cdot\left(1+\tan^2\alpha\right)-\left(1+\tan^2\alpha\right)}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4-4}{\sqrt{2}\cdot3-3}=\frac{3\sqrt{2}}{3(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$.