Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 27

Đáp án: 6480.
Thời gian sản xuất:
Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: $ t $ phút.
Một chiếc mũ kiểu thứ hai: $ t'=\frac { t } { 2 } $ phút.
Trong 1 giờ sản xuất được 60 chiếc mũ kiểu thứ hai: $ t'=\frac { 60 } { 60 }=1 $ (phút/mũ). Suy ra $ t=2 $ (phút/mũ).
Gọi $ x $, $ y $ lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai sản xuất được mỗi ngày.
Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng $ =480 $ phút mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên $ \left \{ \begin{array}{l} 2x+y\leq 480 \\ 0\leq x\leq 200 \\ 0\leq y\leq 240 \end{array} \right. \left ( { I } \right ) $.
Tiền lãi:
Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: 24 nghìn đồng.
Một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng.
Do đó tổng tiền lãi là $ P=24x+15y $.
Ta xét bài toán tìm $ x $,$ y $ để $ P=24x+15y $ đạt giá trị lớn nhất, với các điều kiện $ \left ( { I } \right ) $.
Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $: $ 2x+y=480 $; $ x=200 $; $ y=240 $.
Vùng nghiệm là hình ngũ giác được giới hạn bởi các đường này.

Tọa độ các đỉnh của ngũ giác $ OHIJK $ và tính giá trị tiền lãi:
$ O\left ( { 0;0 } \right ) $. Ta có tiền lãi $ P=24.0+15.0=0 $.
$ H\left ( { 200;0 } \right ) $. Ta có $ P=24.200+15.0=4800 $.
$ I $ là giao điểm của các đường $ 2x+y=480 $ và $ x=200 $ nên $ I=\left ( { 200;80 } \right ) $. $ \Rightarrow P=24.200+15.80=6000 $.
$ J $ là giao điểm của các đường $ 2x+y=480 $ và $ y=240 $ nên $ J=\left ( { 120;240 } \right ) $. $ \Rightarrow P=24.120+15.240=6480 $.
$ K\left ( { 0;240 } \right ) $. Ta có tiền lãi $ P=24.0+15.240=3600 $.
Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng thu được trong một ngày là: 6480 nghìn đồng.