(CD11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm của ba tam giác $SAB,SBC,SCA$. Chứng minh rằng $SA\perp (MNP)$.

Question

Dạng 2. Phép chiếu vuông góc (CD11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm của ba tam giác $SAB,SBC,SCA$. Chứng minh rằng $SA\perp (MNP)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-31. DUONG THANG VUONG GOC VS MP - PHEP CHIEU VUONG GOC/B. TU LUAN/image456.png] Gọi $H,K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$. Theo giả thiết ta có: $\frac{SM}{SH}=\frac{SN}{SK}=\frac{SP}{SI}=\frac{2}{3}.$ Do đó, trong tam giác $SHK$ có $MN \parallel HK$, trong tam giác $SHI$ có $MP \parallel HI$. Mà $HK\subset (ABC)$, $HI\subset (ABC)$ nên $MN \parallel (ABC),MP \parallel (ABC)$. Ngoài ra, $MN,MP$ cắt nhau trong mặt phẳng $(MNP)$ nên $(MNP) \parallel (ABC)$. Mà $SA\perp (ABC)$. Vậy $SA\perp (MNP)$.

Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 21