Bài tự luận · Bài 20
Dạng 2. Phép chiếu vuông góc
Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 20
(CD11) Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB\perp (BCD)$, các tam giác $BCD$ và $ACD$ là những tam giác nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $BCD,ACD$. Chứng minh rằng:
a) $AD\perp CH$;
b*) $HK\perp(ACD)$.
a) $AD\perp CH$;
b*) $HK\perp(ACD)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $AB\perp (BCD),CH\subset (BCD)$ nên $AB\perp CH$.
Do $H$ là trực tâm của tam giác $(BCD)$ nên $CH\perp BD$. Mà $AB,BD$ cắt nhau trong mặt phẳng $(ABD)$ nên $CH\perp (ABD)$. Ngoài ra, $AD\subset (ABD)$ nên $AD\perp CH$.
b*) Vì $K$ là trực tâm của tam giác $(ACD)$ nên $CK\perp AD$. Mà $CK,CH$ cắt nhau trong mặt phẳng $(CHK)$ nên $AD\perp (CHK)$. Ngoài ra, $HK\subset (CHK)$ nên $AD\perp HK$. Áp dụng kết quả của Ví dụ 7 trang 93, ta có $CD\perp HK$. Bên cạnh đó, $AC,CD$ cắt nhau trong mặt phẳng $(ACD)$ nên $HK\perp (ACD)$.