(CD11) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB\perp CD$, $AC\perp BD$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(BCD)$. Chứng minh rằng $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$ và $AD\perp BC$.

Question

Dạng 2. Phép chiếu vuông góc (CD11) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB\perp CD$, $AC\perp BD$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(BCD)$. Chứng minh rằng $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$ và $AD\perp BC$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-31. DUONG THANG VUONG GOC VS MP - PHEP CHIEU VUONG GOC/B. TU LUAN/image481.png] Vì $AH\perp (BCD)$ nên $HB,HC,HD$ lần lượt là hình chiếu của $AB,AC,AD$ trên mặt phẳng $(BCD)$. Mà $CD\perp AB,BD\perp AC$ nên theo định lí ba đường vuông góc, ta có $CD\perp BH,BD\perp CH$. Suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Khi đó $BC\perp HD$. Mà $HD$ là hình chiếu của $AD$ trên mặt phẳng $(BCD)$ nên theo định lí ba đường vuông góc, ta có $BC\perp AD$.

Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 22