Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 34

Dựa vào bảng xét dấu $ f'\left ( { x } \right ) $ ta có hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có 2 cực trị tại $ x=-1 $ và $ x=4 $.
Xét $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x ^ { 3 } +2\left | { x } \right |-4 } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} f\left ( { x ^ { 3 } +2x-4 } \right )\ { \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\ x\geq 0 \\ f\left ( { x ^ { 3 } -2x-4 } \right )\ { \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\ x < 0 \\ \end{array} \end{array} \right. $
$ g'\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \left ( { 3x ^ { 2 } +2 } \right ).f'\left ( { x ^ { 3 } +2x-4 } \right )\ { \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\ x\geq 0 \\ \left ( { 3x ^ { 2 } -2 } \right ).f'\left ( { x ^ { 3 } -2x-4 } \right )\ { \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\ x < 0 \\ \end{array} \end{array} \right. $.
Xét $ g'\left ( { x } \right )=0 $
TH1: $ x\geq 0 $
$ g'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left ( { 3x ^ { 2 } +2 } \right ).f'\left ( { x ^ { 3 } +2x-4 } \right )=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x ^ { 3 } +2x-4=-1 \\ x ^ { 3 } +2x-4=4 \\ \end{array} \Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{l} x ^ { 3 } +2x-3=0 \\ x ^ { 3 } +2x-8=0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1>0 \\ x\simeq 1,67>0 \\ \end{array} \right. \right. $
Với $ x\geq 0 $ có 2 cực trị.
TH2: $ x < 0 $
$g'(x)=0\Leftrightarrow (3x^2-2)f'(x^3-2x-4)=0\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2-2=0\\x^3-2x-4=-1\\x^3-2x-4=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=\frac23\\x^3-2x-3=0\\x^3-2x-8=0\end{cases}$. Với $x<0$, chỉ có nghiệm $x=-\sqrt{\frac23}$; các nghiệm dương bị loại.
Với $ x < 0 $ có 1 cực trị.
Vậy hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x ^ { 3 } +2\left | { x } \right |-4 } \right ) $ có 3 cực trị.