Bài tập nâng cao · Bài 36
Dạng 8. Tìm tham số để hàm số hợp không chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 36
(THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x-a } \right )\left ( { 13x-15 } \right ) ^ { 3 } $. Tìm tập hợp các giá trị của $ a $ để hàm số $ y=f\left ( { \frac { 5x } { x ^ { 2 } +4 } } \right ) $ có 6 điểm cực trị
Xem lời giải
Lời giải
$y'=\left(\frac{5x}{x^2+4}\right)'\left(\frac{5x}{x^2+4}\right)^2\left(\frac{5x}{x^2+4}-a\right)\left(13\frac{5x}{x^2+4}-15\right)^3$
= $ \frac { 20-5x ^ { 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } +4 } \right ) ^ { 2 } }.\frac { 25x ^ { 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } +4 } \right ) ^ { 2 } }\left ( { \frac { -ax ^ { 2 } +5x-4a } { x ^ { 2 } +4 } } \right )\left ( { \frac { -15x ^ { 2 } +65x-60 } { x ^ { 2 } +4 } } \right ) ^ { 3 } $.
$ y'=0 $ $ \Leftrightarrow $$ \left[ x=±2 \\ x=0 \\ x=3 \\ x=\frac { 4 } { 3 } \\ -ax ^ { 2 } +5x-4a=0{ \rm{ } } { \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } } \right. $($ x=0 $ là nghiệm kép).
đặt $ g\left ( { x } \right )=-ax ^ { 2 } +5x-4a $
Ycbt thỏa mãn khi phương trình $ y'=0 $ có $ 6 $ nghiệm bội lẻ $ \Leftrightarrow $phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có hai nghiệm phân biệt khác $\pm2;0;3;\frac43$. (Nếu $ g\left ( { 0 } \right )=0 $thì $ y'=0 $ chỉ có 5 nghiệm bội lẻ).
Điều kiện: $ \left \{ \begin{array}{l} a\neq 0 \\ \Delta =5 ^ { 2 } -4a.4a>0 \\ g\left ( { 2 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { -2 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { 0 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { 3 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { \frac { 4 } { 3 } } \right )\neq 0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow $$ \left \{ \begin{array}{l} a\neq 0 \\ -\frac { 5 } { 4 } < a < \frac { 5 } { 4 } \\ a\neq ±\frac { 5 } { 4 } \\ a\neq 0 \\ a\neq \frac { 15 } { 13 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow $$ \left \{ \begin{array}{l} -\frac { 5 } { 4 } < a < \frac { 5 } { 4 } \\ a\neq 0 \\ a\neq \frac { 15 } { 13 } \end{array} \right. $.
= $ \frac { 20-5x ^ { 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } +4 } \right ) ^ { 2 } }.\frac { 25x ^ { 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } +4 } \right ) ^ { 2 } }\left ( { \frac { -ax ^ { 2 } +5x-4a } { x ^ { 2 } +4 } } \right )\left ( { \frac { -15x ^ { 2 } +65x-60 } { x ^ { 2 } +4 } } \right ) ^ { 3 } $.
$ y'=0 $ $ \Leftrightarrow $$ \left[ x=±2 \\ x=0 \\ x=3 \\ x=\frac { 4 } { 3 } \\ -ax ^ { 2 } +5x-4a=0{ \rm{ } } { \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } } \right. $($ x=0 $ là nghiệm kép).
đặt $ g\left ( { x } \right )=-ax ^ { 2 } +5x-4a $
Ycbt thỏa mãn khi phương trình $ y'=0 $ có $ 6 $ nghiệm bội lẻ $ \Leftrightarrow $phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có hai nghiệm phân biệt khác $\pm2;0;3;\frac43$. (Nếu $ g\left ( { 0 } \right )=0 $thì $ y'=0 $ chỉ có 5 nghiệm bội lẻ).
Điều kiện: $ \left \{ \begin{array}{l} a\neq 0 \\ \Delta =5 ^ { 2 } -4a.4a>0 \\ g\left ( { 2 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { -2 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { 0 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { 3 } \right )\neq 0 \\ g\left ( { \frac { 4 } { 3 } } \right )\neq 0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow $$ \left \{ \begin{array}{l} a\neq 0 \\ -\frac { 5 } { 4 } < a < \frac { 5 } { 4 } \\ a\neq ±\frac { 5 } { 4 } \\ a\neq 0 \\ a\neq \frac { 15 } { 13 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow $$ \left \{ \begin{array}{l} -\frac { 5 } { 4 } < a < \frac { 5 } { 4 } \\ a\neq 0 \\ a\neq \frac { 15 } { 13 } \end{array} \right. $.