Bài tập nâng cao · Bài 33
Dạng 7. Số điểm cực trị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 33
(Sở Bắc Giang 2022) Biết rằng $ f(0)=0 $. Hỏi hàm số $ g(x)=\left | { f\left ( { x ^ { 6 } } \right )-x ^ { 3 } } \right | $ có bao nhiêu điểm cực đại?
Xem lời giải
Lời giải
$h(x)=f(x^6)-x^3\Rightarrow h'(x)=6x^5f'(x^6)-3x^2=3x^2\left(2x^3f'(x^6)-1\right)$.
Đặt: $ u(x)=2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1\Rightarrow u′(x)=6x ^ { 2 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )+12x ^ { 8 } f′′\left ( { x ^ { 6 } } \right )\geq 0,∀x\in \mathbb{R} $
(Từ đồ thị ta có $ x ^ { 6 } \geq 0\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )>0 \\ f′′\left ( { x ^ { 6 } } \right )>0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ do đó $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 6x ^ { 2 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )\geq 0 \\ 12x ^ { 8 } f′′\left ( { x ^ { 6 } } \right )\geq 0 \\ \end{array} \end{array} \right.,∀x\in \mathbb{R}) $
Nên $ u(x)=2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1 $ đồng biến và liên tục trên $ \mathbb{R} $
(do $ f(x) $ là hàm đa thức $ \Rightarrow u(x) $ là hàm đa thức) và $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \mathop { lim } \limits_{ x\to -\infty } u(x)=-\infty \\ \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } u(x)=+\infty \\ \end{array} \end{array} \right. $
suy ra phương trình $ u(x)=2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1=0 $ có nghiệm duy nhất.
Giả sử $ 2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1=0\Leftrightarrow x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )=\frac { 1 } { 2 } $ có nghiệm là $ x_{ 0 } $(do $f′(x_0^6)>0\Rightarrow x_0^3>0\Rightarrow x_0>0$).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { h\left ( { x } \right ) } \right | $ có 1 điểm cực đại.
Đặt: $ u(x)=2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1\Rightarrow u′(x)=6x ^ { 2 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )+12x ^ { 8 } f′′\left ( { x ^ { 6 } } \right )\geq 0,∀x\in \mathbb{R} $
(Từ đồ thị ta có $ x ^ { 6 } \geq 0\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )>0 \\ f′′\left ( { x ^ { 6 } } \right )>0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ do đó $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 6x ^ { 2 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )\geq 0 \\ 12x ^ { 8 } f′′\left ( { x ^ { 6 } } \right )\geq 0 \\ \end{array} \end{array} \right.,∀x\in \mathbb{R}) $
Nên $ u(x)=2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1 $ đồng biến và liên tục trên $ \mathbb{R} $
(do $ f(x) $ là hàm đa thức $ \Rightarrow u(x) $ là hàm đa thức) và $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \mathop { lim } \limits_{ x\to -\infty } u(x)=-\infty \\ \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } u(x)=+\infty \\ \end{array} \end{array} \right. $
suy ra phương trình $ u(x)=2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1=0 $ có nghiệm duy nhất.
Giả sử $ 2x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )-1=0\Leftrightarrow x ^ { 3 } f′\left ( { x ^ { 6 } } \right )=\frac { 1 } { 2 } $ có nghiệm là $ x_{ 0 } $(do $f′(x_0^6)>0\Rightarrow x_0^3>0\Rightarrow x_0>0$).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { h\left ( { x } \right ) } \right | $ có 1 điểm cực đại.