Bài tự luận · Bài 6
Dạng 1. Xác định góc giữa hai đường thẳng Phuơng pháp: Đưa bài toán về xác định góc giũa hai đường thẳng trong cùng mặt phẳng
Bài tự luận Hai đường thẳng vuông góc · Bài 6
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,SA=a\sqrt{3},SA\perp AC$, $SA\perp BC,\widehat{BAD}=120^{\circ}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a) $SD$ và $BC$.
b) $MN$ và $SC$.
a) $SD$ và $BC$.
b) $MN$ và $SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $AD\parallel BC$ nên $(SD,BC)=(SD,AD)$.
Vì $SA\perp BC$ và $AD\parallel BC$ nên $SA\perp AD$ hay tam giác $SAD$ vuông tại $A$.
Do đó $(SD,BC)=(SD,AD)=\widehat{SDA}=60^{\circ}$.
b) Vì $MN\parallel CD$ nên $(SC,MN)=(SC,CD)$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$ nên $ACD$ là tam giác đều cạnh $a$.
Xét các tam giác vuông $SAC,SAD$ có:
$SC=\sqrt{AC^{2}+SA^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$ và $SD=\sqrt{AD^{2}+SA^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $SCD$:
$\cos\widehat{SCD}=\frac{SC^{2}+CD^{2}-SD^{2}}{2\cdot SC\cdot CD}=\frac{1}{4}\Rightarrow \widehat{SCD}\approx 75,5^{\circ}$.
Vậy $(SC,MN)=(SC,CD)=\widehat{SCD}=75,5^{\circ}$.