Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số $ m $ để đồ thị hàm số $ y=x ^ { 2 } -4x+m $ cắt trục hoành tại hai điểm $ A,B $ phân biệt sao cho $ OA=3OB $.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số và trục hoành: $ x ^ { 2 } -4x+m=0 $ (1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm A, B phân biệt $ ⇔ $phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ ⇔Δ'=4-m>0⇔m < 4 $ Gọi $ A\left ( { x_{ A } ;0 } \right ),\,B\left ( { x_{ B } ;0 } \right ) $ là tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. Theo định lí Viet ta có: $ x_{ A } +x_{ B } =4,\,\,\,x_{ A } .x_{ B } =m $ Theo yêu cầu bài toán: $ OA=3OB⇔\left | { x_{ A } } \right |=3\left | { x_{ B } } \right |⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ A } =3x_{ B } \\ x_{ A } =-3x_{ B } \end{array} \right. $ TH1: Với $ x_{ A } =3x_{ B } $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ A } +x_{ B } =4 \\ x_{ A } =3x_{ B } \\ x_{ A } .x_{ B } =m \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =3 \\ x_{ B } =1 \\ m=3 \end{array} \right. $. Kết hợp điều kiện $ m < 4 $, suy ra $ m=3 $ thỏa mãn. TH2: Với $ x_{ A } =-3x_{ B } $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ A } +x_{ B } =4 \\ x_{ A } =-3x_{ B } \\ x_{ A } .x_{ B } =m \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =6 \\ x_{ B } =-2 \\ m=-12 \end{array} \right. $. Kết hợp điều kiện $ m < 4 $, suy ra $ m=-12 $ thỏa mãn. Vậy tổng các giá trị của tham số m là: -9