Cho hàm số $ y=ax ^ { 2 } +bx+c $ có đồ thị là parabol $ (P) $. Biết rằng đường thẳng $ y=-2 $cắt $ (P) $tại một điểm duy nhất, đường thẳng $ y=2 $ cắt $ (P) $ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $ -1 $và $ 5 $. Tính giá trị $ T=a+2b+4c $.

Vì $ (P) $ có trục đối xứng là 1 đường thẳng song song hoặc trùng với $ Oy $ và đường thẳng $ y=2 $ (vuông góc với trục đối xứng của $ (P) $) cắt $ (P) $ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $ -1 $và $ 5 $ nên trục đối xứng của $ (P) $ là đường thẳng $ x=\frac { -1+5 } { 2 }=2 $ và điểm $ A\left ( { -1;2 } \right )∈(P) $. Mà đường thẳng $ y=-2 $ cắt $ (P) $tại một điểm duy nhất nên toạ độ đỉnh của $ (P) $ là $ A\left ( { 2;-2 } \right ) $. Ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} -\frac { b } { 2a }=2 \\ a-b+c=2 \\ 4a+2b+c=-2 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 4 } { 9 } \\ b=-\frac { 16 } { 9 } \\ c=-\frac { 2 } { 9 } \end{array} \right. $. Vậy $ T=a+2b+4c=-4 $.