Cho hàm số $y = \frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$ với $m$ là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng. Với $m = 1$, ta có hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$. Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ \sqrt{x+1} - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x + 1 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \neq 0 \end{cases}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = [-1; +\infty) \setminus \{0\}$. b) Sai. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1; 1)$ nên ta có: $1 = \frac{m}{\sqrt{1-m+2}-1} \Leftrightarrow \sqrt{3-m} - 1 = m \Leftrightarrow \sqrt{3-m} = m + 1$ $\Leftrightarrow \begin{cases} m + 1 \ge 0 \\ 3 - m = (m + 1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -1 \\ m^2 + 3m - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$ (do giá trị $m = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} < -1$ bị loại). c) Đúng. Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\begin{cases} \sqrt{x-m+2} - 1 \neq 0 \\ x - m + 2 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x - m + 2 \neq 1 \\ x \ge m - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq m - 1 \\ x \ge m - 2 \end{cases}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = [m-2; +\infty) \setminus \{m-1\}$. d) Đúng. Ta có $D = [m-2; +\infty) \setminus \{m-1\}$. Để hàm số xác định trên $(0; 1)$ khi và chỉ khi $(0;1) \subset [m-2; m-1)$ hoặc $(0;1) \subset (m-1; +\infty)$, tức là $m = 2$ hoặc $m - 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le 1$. Vậy $m \in \{1; 2\}$.