Bài tự luận · Bài 32
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 32
Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bi trắng và 5 viên bi đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bi trắng và 8 viên bi đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi $ X $ là số viên bi trắng lấy được.
a) Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
b) Chứng minh rằng $ X $ không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
a) Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
b) Chứng minh rằng $ X $ không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ U $ là số bi trắng Minh rút được từ túi I. Ta có $ U~Ber(0,5) $.
Bảng phân bố xác suất của $ U $ là:
$ U $ 0 1
$ P $ 0,5 0,5
Ta có $ P(U=1)=0,5;P(U=0)=0,5 $.
Gọi V là số bi trắng Minh rút được từ túi II và túi III. Vì mỗi túi II và III đều chứa số viên bi trắng và số viên bi đen như nhau nên Minh đã thực hiện phép thử lặp với $ n=2,p=\frac { 2 } { 10 }=0,2 $. Vậy $ V~B(2,0,2) $. Từ đó ta có bảng phân bố xác suất của $ V $ là:
$ V $ 0 1 2
$ P $ 0,64 0,32 0,04
Sử dụng công thức cộng và công thức nhân xác suất ta có:
$ { \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }P(X=0)=P(U=0,V=0)=P(U=0)\cdot P(V=0)=0,5\cdot 0,64=0,32{ \rm{ } } \\ { \rm{ + } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }P(X=1)=P(U=1,V=0)+P(U=0,V=1)=P(U=1)\cdot P(V=0)+P(U=0)\cdot P(V=1) \\ =0,5\cdot 0,64+0,5\cdot 0,32=0,48{ \rm{ } } \\ { \rm{ + } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }P(X=2)=P(U=0,V=2)+P(U=1,V=1)=P(U=0)\cdot P(V=2)+P(U=1)\cdot P(V=1) \\ =0,5\cdot 0,04+0,5\cdot 0,32=0,18{ \rm{ } } \\ { \rm{ + } }{ \rm{ ) } }P(X=3)=P(U=1,V=2)=P(U=1)\cdot P(V=2)=0,5\cdot 0,04=0,02 $
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 0 1 2 3
$ P $ 0,32 0,48 0,18 0,02
b) Chứng minh phản chứng: Giả sử $ X~B(n,p) $. Khi đó $ n=3 $.
Ta có $ P(X=3)=C_{ 3 } ^{ 3 }p ^ { 3 } =p ^ { 3 } =0,02 $.
$ P(X=2)=C_{ 3 } ^{ 2 }p ^ { 2 } (1-p)=3p ^ { 2 } -3p ^ { 3 } =0,18\Rightarrow 3p ^ { 2 } =3p ^ { 3 } +0,18=3\cdot 0,02+0,18=0,24\Rightarrow p ^ { 2 } =0,08 $
Từ (1) và (2) suy ra $ p=\frac { 0,02 } { 0,08 }=0,25\Rightarrow p ^ { 2 } =0,0625 $. Mâu thuẫn với (2).
Vậy $ X $ không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
Bảng phân bố xác suất của $ U $ là:
$ U $ 0 1
$ P $ 0,5 0,5
Ta có $ P(U=1)=0,5;P(U=0)=0,5 $.
Gọi V là số bi trắng Minh rút được từ túi II và túi III. Vì mỗi túi II và III đều chứa số viên bi trắng và số viên bi đen như nhau nên Minh đã thực hiện phép thử lặp với $ n=2,p=\frac { 2 } { 10 }=0,2 $. Vậy $ V~B(2,0,2) $. Từ đó ta có bảng phân bố xác suất của $ V $ là:
$ V $ 0 1 2
$ P $ 0,64 0,32 0,04
Sử dụng công thức cộng và công thức nhân xác suất ta có:
$ { \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }P(X=0)=P(U=0,V=0)=P(U=0)\cdot P(V=0)=0,5\cdot 0,64=0,32{ \rm{ } } \\ { \rm{ + } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }P(X=1)=P(U=1,V=0)+P(U=0,V=1)=P(U=1)\cdot P(V=0)+P(U=0)\cdot P(V=1) \\ =0,5\cdot 0,64+0,5\cdot 0,32=0,48{ \rm{ } } \\ { \rm{ + } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } }P(X=2)=P(U=0,V=2)+P(U=1,V=1)=P(U=0)\cdot P(V=2)+P(U=1)\cdot P(V=1) \\ =0,5\cdot 0,04+0,5\cdot 0,32=0,18{ \rm{ } } \\ { \rm{ + } }{ \rm{ ) } }P(X=3)=P(U=1,V=2)=P(U=1)\cdot P(V=2)=0,5\cdot 0,04=0,02 $
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 0 1 2 3
$ P $ 0,32 0,48 0,18 0,02
b) Chứng minh phản chứng: Giả sử $ X~B(n,p) $. Khi đó $ n=3 $.
Ta có $ P(X=3)=C_{ 3 } ^{ 3 }p ^ { 3 } =p ^ { 3 } =0,02 $.
$ P(X=2)=C_{ 3 } ^{ 2 }p ^ { 2 } (1-p)=3p ^ { 2 } -3p ^ { 3 } =0,18\Rightarrow 3p ^ { 2 } =3p ^ { 3 } +0,18=3\cdot 0,02+0,18=0,24\Rightarrow p ^ { 2 } =0,08 $
Từ (1) và (2) suy ra $ p=\frac { 0,02 } { 0,08 }=0,25\Rightarrow p ^ { 2 } =0,0625 $. Mâu thuẫn với (2).
Vậy $ X $ không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.