Bài tập nâng cao · Bài 13
DẠNG 2. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 13
Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=3$, $\widehat{BAC}=120^\circ$.
a) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và độ dài trung tuyến $AM$.
b) Gọi $AD$ là phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$. Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. Suy ra độ dài đoạn $AD$.
a) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và độ dài trung tuyến $AM$.
b) Gọi $AD$ là phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$. Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. Suy ra độ dài đoạn $AD$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos A=2\cdot3\cos120^\circ=-3$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên $AM^2=\dfrac14(AB^2+AC^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})=\dfrac14(2^2+3^2+2(-3))=\dfrac74\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt7}{2}$.
b) Theo tính chất đường phân giác, $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac23$, nên $\overrightarrow{DB}=-\dfrac23\overrightarrow{DC}$.
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\dfrac23(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac35\overrightarrow{AB}+\dfrac25\overrightarrow{AC}$.
$AD^2=\dfrac9{25}AB^2+\dfrac4{25}AC^2+\dfrac{12}{25}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{36}{25}\Rightarrow AD=\dfrac65$.