Cho tam giác $ABC$ có $AB=a\sqrt2$, $BC=5a$, $\widehat{ABC}=135^\circ$. Gọi điểm $M$ thuộc $AC$ sao cho $AM=\dfrac32MC$.
a) Tính $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
b) Tìm $x,y$ sao cho $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$ và tính $BM$.

Question

DẠNG 2. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG Cho tam giác $ABC$ có $AB=a\sqrt2$, $BC=5a$, $\widehat{ABC}=135^\circ$. Gọi điểm $M$ thuộc $AC$ sao cho $AM=\dfrac32MC$. a) Tính $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$. b) Tìm $x,y$ sao cho $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$ và tính $BM$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image156.png] a) $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|\cos\widehat{ABC}=a\sqrt2\cdot5a\cos135^\circ=-5a^2$. b) Do $M$ thuộc $AC$ sao cho $AM=\dfrac32MC\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac32\overrightarrow{MC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\dfrac32(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM})$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}+\dfrac32\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\dfrac32\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}=\dfrac25\overrightarrow{BA}+\dfrac35\overrightarrow{BC}$ (*). Vì $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ là hai vectơ không cùng phương nên biểu thức (*) duy nhất, do đó $x=\dfrac25$, $y=\dfrac35$. $\Rightarrow\overrightarrow{BM}^2=(\dfrac25\overrightarrow{BA}+\dfrac35\overrightarrow{BC})^2$ $\Leftrightarrow BM^2=\dfrac4{25}BA^2+\dfrac9{25}BC^2+2\cdot\dfrac25\overrightarrow{BA}\cdot\dfrac35\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow BM^2=\dfrac4{25}BA^2+\dfrac9{25}BC^2+\dfrac{12}{25}\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow BM^2=\dfrac4{25}\cdot2a^2+\dfrac9{25}\cdot25a^2+\dfrac{12}{25}(-5a^2)=\dfrac{173}{25}a^2$ $\Rightarrow BM=\dfrac{a\sqrt{173}}5$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 12