Bài tập nâng cao · Bài 11
DẠNG 2. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 11
Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=3$, $\widehat{BAC}=60^\circ$. Cho điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0$. Tính độ dài $AM$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0\Leftrightarrow(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM})=\overrightarrow0\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}$.
$\Rightarrow\overrightarrow{AM}^2=(\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC})^2$
$\Leftrightarrow AM^2=(\dfrac13\overrightarrow{AB})^2+(\dfrac23\overrightarrow{AC})^2+2\cdot\dfrac13\overrightarrow{AB}\cdot\dfrac23\overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow AM^2=\dfrac19AB^2+\dfrac49AC^2+\dfrac49\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow AM^2=\dfrac19\cdot2^2+\dfrac49\cdot3^2+\dfrac49\cdot3=\dfrac{52}{9}\Rightarrow AM=\dfrac{2\sqrt{13}}3$.
$\Rightarrow\overrightarrow{AM}^2=(\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC})^2$
$\Leftrightarrow AM^2=(\dfrac13\overrightarrow{AB})^2+(\dfrac23\overrightarrow{AC})^2+2\cdot\dfrac13\overrightarrow{AB}\cdot\dfrac23\overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow AM^2=\dfrac19AB^2+\dfrac49AC^2+\dfrac49\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow AM^2=\dfrac19\cdot2^2+\dfrac49\cdot3^2+\dfrac49\cdot3=\dfrac{52}{9}\Rightarrow AM=\dfrac{2\sqrt{13}}3$.