Bài tập nâng cao · Bài 14
DẠNG 2. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 14
Cho tam giác $ABC$ có $AB=2a$, $BC=a\sqrt7$, $AC=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ thuộc $AC$ sao cho $AN=2NC$ và $D$ thuộc $MN$ sao cho $2DM=DN$.
a) Tìm $x,y$ sao cho $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.
b) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và độ dài đoạn $AD$ theo $a$.
a) Tìm $x,y$ sao cho $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.
b) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và độ dài đoạn $AD$ theo $a$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $AN=2NC\Rightarrow AN=\dfrac23AC\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac23\overrightarrow{AC}$.
• $2DM=DN\Rightarrow2\overrightarrow{DM}=-\overrightarrow{DN}\Leftrightarrow2(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD})=-(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD})$
$\Leftrightarrow3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$
$\Leftrightarrow3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac29\overrightarrow{AC}\Rightarrow x=\dfrac13$, $y=\dfrac29$.
b) Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
Do đó $\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\dfrac{(2a)^2+(3a)^2-(a\sqrt7)^2}{2}=3a^2$.
Theo câu a), $\overrightarrow{AD}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac29\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AD}^2=(\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac29\overrightarrow{AC})^2$
$\Leftrightarrow AD^2=\dfrac19AB^2+\dfrac4{81}AC^2+\dfrac4{27}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow AD^2=\dfrac19(2a)^2+\dfrac4{81}(3a)^2+\dfrac4{27}\cdot3a^2$
$\Leftrightarrow AD^2=\dfrac43a^2\Rightarrow AD=\dfrac{2a\sqrt3}{3}$.