Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo $AC=a\sqrt2$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}$ theo $a$.
b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=2(OC^2-OM^2)$.

Question

DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $ Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo $AC=a\sqrt2$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}$ theo $a$. b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=2(OC^2-OM^2)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image237.png] a) Do $ABCD$ là hình vuông nên $AC=AB\sqrt2\Leftrightarrow AB=a$. Theo định nghĩa, $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=AD\cdot AC\cos\widehat{CAD}=a^2$. b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}\cdot\dfrac12\overrightarrow{AC}=\dfrac12AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}=\dfrac{a^2}{2}$ (1). $2(OC^2-OM^2)=2MC^2=\dfrac{BC^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=2(OC^2-OM^2)$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 15