Bài tập nâng cao · Bài 5
DẠNG 1. TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 5
Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $7$, góc $\widehat{BAC}=60^\circ$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OA}$; $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OB}$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $\widehat{BAC}=60^\circ\Rightarrow\triangle ABC$ đều $\Rightarrow AC=7$, $BO=\dfrac{7\sqrt3}{2}$ (đường cao tam giác đều bằng $\dfrac{\text{cạnh}\cdot\sqrt3}{2}$).
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}=7\cdot7\cos60^\circ=\dfrac{49}{2}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OA}=-AB\cdot AO\cos60^\circ=-7\cdot\dfrac72\cdot\dfrac12=-\dfrac{49}{4}$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ (do $\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}$).
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BO}=BA\cdot BO\cos\widehat{ABO}=7\cdot\dfrac{7\sqrt3}{2}\cos30^\circ=\dfrac{147}{4}$.