Bài tập nâng cao · Bài 7
DẠNG 1. TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 7
Cho các vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai vectơ bằng $60^\circ$. Xác định cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ với $\overrightarrow u=\overrightarrow a+2\overrightarrow b$, $\overrightarrow v=\overrightarrow a-\overrightarrow b$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v=(\overrightarrow a+2\overrightarrow b)\cdot(\overrightarrow a-\overrightarrow b)=\overrightarrow a^2+\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b-2\overrightarrow b^2=a^2+|\overrightarrow a|\,|\overrightarrow b|\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b)-2b^2=-\dfrac12$.
• $\overrightarrow u^2=(\overrightarrow a+2\overrightarrow b)^2=\overrightarrow a^2+4\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+4\overrightarrow b^2=1+4\cdot1\cdot1\cos60^\circ+4=7\Rightarrow|\overrightarrow u|=\sqrt7$.
• $\overrightarrow v^2=(\overrightarrow a-\overrightarrow b)^2=\overrightarrow a^2-2\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+\overrightarrow b^2=1-2\cdot1\cdot1\cos60^\circ+1=1\Rightarrow|\overrightarrow v|=1$.
$\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v=|\overrightarrow u|\,|\overrightarrow v|\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v)\Rightarrow\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v)=\dfrac{\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v}{|\overrightarrow u|\,|\overrightarrow v|}=\dfrac{-\frac12}{\sqrt7\cdot1}=-\dfrac{\sqrt7}{14}$.
• $\overrightarrow u^2=(\overrightarrow a+2\overrightarrow b)^2=\overrightarrow a^2+4\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+4\overrightarrow b^2=1+4\cdot1\cdot1\cos60^\circ+4=7\Rightarrow|\overrightarrow u|=\sqrt7$.
• $\overrightarrow v^2=(\overrightarrow a-\overrightarrow b)^2=\overrightarrow a^2-2\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+\overrightarrow b^2=1-2\cdot1\cdot1\cos60^\circ+1=1\Rightarrow|\overrightarrow v|=1$.
$\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v=|\overrightarrow u|\,|\overrightarrow v|\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v)\Rightarrow\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v)=\dfrac{\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v}{|\overrightarrow u|\,|\overrightarrow v|}=\dfrac{-\frac12}{\sqrt7\cdot1}=-\dfrac{\sqrt7}{14}$.