Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 12
Trong không gian $Oxyz$, cho $(P):x-y+2=0$ và $A(1;2;3)$, $B(1;0;1)$. Điểm $C(a;b;-2)\in(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất. Tính $a+b$.
Xem lời giải
Lời giải
$C\in(P)$ cho $b=a+2$, tức $C(a;a+2;-2)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;-2;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(a-1;a;-5)$ và $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(2a+10;-2a+2;2a-2)$. Vì vậy
$S_{ABC}=\frac12\sqrt{(2a+10)^2+2(2a-2)^2}=\sqrt{3(a+1)^2+24}\ge2\sqrt6$.
Dấu bằng khi $a=-1$, khi đó $b=1$. Vậy $a+b=0$.
$S_{ABC}=\frac12\sqrt{(2a+10)^2+2(2a-2)^2}=\sqrt{3(a+1)^2+24}\ge2\sqrt6$.
Dấu bằng khi $a=-1$, khi đó $b=1$. Vậy $a+b=0$.