Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;1)$, $B(2;0;2)$, $C(-1;-1;0)$, $D(0;3;4)$. Trên $AB,AC,AD$ lấy $B',C',D'$ sao cho $AB/AB'+AC/AC'+AD/AD'=4$. Viết phương trình $(B'C'D')$ khi thể tích $AB'C'D'$ nhỏ nhất.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đặt $x=AB'/AB$, $y=AC'/AC$, $z=AD'/AD$. Khi đó $1/x+1/y+1/z=4$, nên theo AM-GM, $xyz\ge27/64$, dấu bằng khi $x=y=z=3/4$. Ngoài ra $\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;-2;-1)$, $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(3;-1;-4)$ và $\overrightarrow{AD}=(-1;2;3)$, nên $V_{ABCD}=17/6$ và $V_{AB'C'D'}=xyzV_{ABCD}$. Tại cực tiểu, $(B'C'D')\parallel(BCD)$ và $B'(7/4;1/4;7/4)$. Vì $[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}]=(4;10;-11)$, phương trình cần tìm là $16x+40y-44z+39=0$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 11