Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2AC=3AD$. Gọi $O$, $O'$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ABD$. Tính tỉ số $k=\frac{BC}{BD}$ khi $OO'\parallel\left( BCD \right)$.

Question

DẠNG 1. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG $\left\{ \begin{array}{l} d\parallel\Delta \ d
ot\subset\left( \alpha ight) \ \Delta\subset\left( \alpha ight) \end{array} ight.\Rightarrow d\parallel\left( \alpha ight)$. [IMAGE:question_images/11-12. DUONG THANG SONG SONG MP/F. BAI TAP NANG CAO/image2.png] Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2AC=3AD$. Gọi $O$, $O'$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ABD$. Tính tỉ số $k=\frac{BC}{BD}$ khi $OO'\parallel\left( BCD ight)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-12. DUONG THANG SONG SONG MP/F. BAI TAP NANG CAO/image287.png] Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$: Giả sử $AO$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $M$. Trong mặt phẳng $\left( ABD \right)$: Giả sử $AO'$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $N$. Ta có : $MN=\left( AOO' \right)\cap\left( BCD \right)$. Do đó : $OO'\parallel\left( BCD \right)$ $\Leftrightarrow OO'\parallel MN$ $\Leftrightarrow\frac{AO}{OM}=\frac{AO'}{O'N}$ (1) Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có : + $\frac{AO}{OM}=\frac{AB}{BM}=\frac{AC}{CM}$$\Rightarrow\frac{AO}{OM}=\frac{AB+AC}{BM+CM}=\frac{AB+AC}{BC}$. + $\frac{AO'}{O'N}=\frac{AB}{BN}=\frac{AD}{DN}$$\Rightarrow\frac{AO'}{O'N}=\frac{AB+AD}{BN+DN}=\frac{AB+AD}{BD}$. Vậy đẳng thức (1) $\Leftrightarrow$ $\frac{AB+AC}{BC}=\frac{AB+AD}{BD}$$\Leftrightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{AB+AC}{AB+AD}$. Theo giả thiết : $AB=2AC=3AD$ $\Rightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{\frac{3}{2}AB}{\frac{4}{3}AB}=\frac{9}{8}$. Kết luận : $OO'\parallel\left( BCD \right)$ $\Leftrightarrow k=\frac{BC}{BD}=\frac{9}{8}$.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng song song · Bài 13