Bài tập nâng cao · Bài 53
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 53
Gọi $M\left( x_M;y_M \right)$ là một điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=x^3-3x^2+2$, biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( x_N;y_N \right)$ (khác $M$) sao cho $P=5x_M^2+x_N^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $OM$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y=x^3-3x^2+2$ $\Rightarrow y'=3x^2-6x$.
Do $M\left( x_M;y_M \right)$ là một điểm thuộc $\left( C \right):y=x^3-3x^2+2$, suy ra tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có phương trình là: $y=\left( 3x_M^2-6x_M \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M^2+2$.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( x_N;y_N \right)$ (khác $M$) nên $x_M$, $x_N$ là nghiệm của phương trình: $x^3-3x^2+2=\left( 3x_M^2-6x_M \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M^2+2$
$\Leftrightarrow \left( x^3-x_M^3 \right)-3\left( x^2-x_M^2 \right)-\left( 3x_M^2-6x_M \right)\left( x-x_M \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-x_M \right)^2\left( x+2x_M-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=x_M \\ x=-2x_M+3 \end{array} \right.$.
Để tồn tại hai điểm $M,$ $N$ và $N$ khác $M$ thì $x_M\neq -2x_M+3\Leftrightarrow x_M\neq 1$ $\Rightarrow \,x_N=-2x_M+3$
Khi đó $P=5x_M^2+x_N^2=5x_M^2+\left( -2x_M+3 \right)^2=9x_M^2-12x_M+9=9\left( x_M-\frac{2}{3} \right)^2+5\geq 5$.
Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $5$ khi $x_M=\frac{2}{3}$. Khi đó $M\left( \frac{2}{3};\frac{26}{27} \right)$ $\Rightarrow \,OM=\frac{10\sqrt{10}}{27}$.
Do $M\left( x_M;y_M \right)$ là một điểm thuộc $\left( C \right):y=x^3-3x^2+2$, suy ra tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có phương trình là: $y=\left( 3x_M^2-6x_M \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M^2+2$.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( x_N;y_N \right)$ (khác $M$) nên $x_M$, $x_N$ là nghiệm của phương trình: $x^3-3x^2+2=\left( 3x_M^2-6x_M \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M^2+2$
$\Leftrightarrow \left( x^3-x_M^3 \right)-3\left( x^2-x_M^2 \right)-\left( 3x_M^2-6x_M \right)\left( x-x_M \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-x_M \right)^2\left( x+2x_M-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=x_M \\ x=-2x_M+3 \end{array} \right.$.
Để tồn tại hai điểm $M,$ $N$ và $N$ khác $M$ thì $x_M\neq -2x_M+3\Leftrightarrow x_M\neq 1$ $\Rightarrow \,x_N=-2x_M+3$
Khi đó $P=5x_M^2+x_N^2=5x_M^2+\left( -2x_M+3 \right)^2=9x_M^2-12x_M+9=9\left( x_M-\frac{2}{3} \right)^2+5\geq 5$.
Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $5$ khi $x_M=\frac{2}{3}$. Khi đó $M\left( \frac{2}{3};\frac{26}{27} \right)$ $\Rightarrow \,OM=\frac{10\sqrt{10}}{27}$.