Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l} u_1 = 2 \ u_n = 2u_{n-1} + 3, \quad n \geq 2 \end{array} ight.$.

Question

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l} u_1 = 2 \ u_n = 2u_{n-1} + 3, \quad n \geq 2 \end{array}ight.$.

Beedemy · Accepted Answer

a. Số hạng thứ 3 của dãy là 17 Đúng. b. Tổng 6 số hạng đầu của dãy là 297 Đúng. c. Ta có $u_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$ với $\forall n \geq 2$; Đúng. d. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là $u_{11}$ Sai. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) b) Ta có 6 số hạng đầu của dãy là: $u_2 = 2u_1 + 3 = 7$, $u_3 = 17$, $u_4 = 37$, $u_5 = 77$, $u_6 = 157$. c) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp. Với $n = 2$ ta có: $u_2 = 5 \cdot 2 - 3 = 7$ (đúng). Giả sử $u_k = 5 \cdot 2^{k-1} - 3$, khi đó ta có: $$ u_{k+1} = 2u_k + 3 = 2\Big(5 \cdot 2^{k-1} - 3\Big) + 3 = 5 \cdot 2^k - 3 $$ Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp. d) Ta có $u_n < 1000 \Leftrightarrow 2^{n-1} < \frac{1003}{5}$. Mà $2^7$ là lũy thừa lớn nhất của $2$ nhỏ hơn $\frac{1003}{5}$ nên ta có: $2^{n-1} = 2^7 \Rightarrow n = 8$. Vậy $u_8$ là số hạng cần tìm.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l} u_1 = 2 \\ u_n = 2u_{n-1} + 3, \quad n \geq 2 \end{array}\right.$.

Cùng dạng: Tính giá trị số hạng và số thứ tự khi biết công thức tổng quát