Bài tự luận · Bài 24
Dạng 3. Tìm điểm thuộc đường conic thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 24
(CD10) Cho hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>0,b>0$ và đường thẳng $y=n$ cắt $(H)$ tại hai điểm $P,Q$ phân biệt. Chứng minh hai điểm $P$ và $Q$ đối xứng nhau qua trục $Oy$.
Xem lời giải
Lời giải
Thay $y=n$ vào phương trình chính tắc của hypebol ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{n^2}{b^2}=1$.
Suy ra $x^2=a^2\left(1+\frac{n^2}{b^2}\right)\Rightarrow x=a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}}$ hoặc $x=-a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}}$. Không mất tính tổng quát, ta lấy $P\left(a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}};n\right)$, $Q\left(-a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}};n\right)$. Vì $P,Q$ có cùng tung độ và hoành độ đối nhau nên $P,Q$ đối xứng qua trục $Oy$.
Suy ra $x^2=a^2\left(1+\frac{n^2}{b^2}\right)\Rightarrow x=a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}}$ hoặc $x=-a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}}$. Không mất tính tổng quát, ta lấy $P\left(a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}};n\right)$, $Q\left(-a\sqrt{1+\frac{n^2}{b^2}};n\right)$. Vì $P,Q$ có cùng tung độ và hoành độ đối nhau nên $P,Q$ đối xứng qua trục $Oy$.