Bài tập nâng cao · Bài 86
7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 86
Giải bất phương trình sau: $5+2\cos 2x\leq 3\left| 2\sin x-1 \right|$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta đặt $t=\sin x,t\in \left[ -1;1 \right]$.
Bất phương trình trở thành: $5+2\left( 1-2t^{2} \right)\leq 3\left| 2t-1 \right|$
$\Leftrightarrow 7-4t^{2}\leq 3\left| 2t-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 7-4t^{2}\leq 6t-3 \\ t\geq \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 7-4t^{2}\leq 3-6t \\ t < \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} t\geq 1 \\ t\leq -\frac{5}{2} \end{array} \right. \\ t\geq \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} t\geq 2 \\ t\leq -\frac{1}{2} \end{array} \right. \\ t < \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t\leq -\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\ \sin x\leq -\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ \frac{7\pi}{6}+k2\pi\leq x\leq \frac{11\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.$.
Bất phương trình trở thành: $5+2\left( 1-2t^{2} \right)\leq 3\left| 2t-1 \right|$
$\Leftrightarrow 7-4t^{2}\leq 3\left| 2t-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 7-4t^{2}\leq 6t-3 \\ t\geq \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 7-4t^{2}\leq 3-6t \\ t < \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} t\geq 1 \\ t\leq -\frac{5}{2} \end{array} \right. \\ t\geq \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} t\geq 2 \\ t\leq -\frac{1}{2} \end{array} \right. \\ t < \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t\leq -\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\ \sin x\leq -\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ \frac{7\pi}{6}+k2\pi\leq x\leq \frac{11\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.$.