Bài tự luận · Bài 22
Dạng 1. Thực hiện các phép tính lôgarit
Bài tự luận Lôgarit · Bài 22
(KNTT11) Cho $a$ là một số thực dương. Rút gọn biểu thức sau:
$A=\log_{\frac{1}{3}}a-\log_{\sqrt{3}}a^{2}+\log_{9}\frac{1}{a}$.
$A=\log_{\frac{1}{3}}a-\log_{\sqrt{3}}a^{2}+\log_{9}\frac{1}{a}$.
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng công thức đổi cơ số, ta đưa các biểu thức lôgarit về lôgarit cơ số 3 như sau:
$\log_{\frac{1}{3}}a=\frac{\log_{3}a}{\log_{3}\frac{1}{3}}=\frac{\log_{3}a}{\log_{3}3^{-1}}=\frac{\log_{3}a}{-1}=-\log_{3}a;$
$\log_{\sqrt{3}}a^{2}=2\log_{\sqrt{3}}a=2\cdot \frac{\log_{3}a}{\log_{3}\sqrt{3}}=2\cdot \frac{\log_{3}a}{\log_{3}3^{\frac{1}{2}}}=2\cdot \frac{\log_{3}a}{\frac{1}{2}}=4\log_{3}a;$
$\log_{9}\frac{1}{a}=\frac{\log_{3}\frac{1}{a}}{\log_{3}9}=\frac{\log_{3}\frac{1}{a}}{\log_{3}3^{2}}=-\frac{\log_{3}a}{2}.$
Thay các kết quả trên vào biểu thức $A$, ta được:
$A=-\log_{3}a-4\log_{3}a-\frac{\log_{3}a}{2}=-\frac{11}{2}\log_{3}a.$
Vậy $A=-\frac{11}{2}\log_{3}a$.
$\log_{\frac{1}{3}}a=\frac{\log_{3}a}{\log_{3}\frac{1}{3}}=\frac{\log_{3}a}{\log_{3}3^{-1}}=\frac{\log_{3}a}{-1}=-\log_{3}a;$
$\log_{\sqrt{3}}a^{2}=2\log_{\sqrt{3}}a=2\cdot \frac{\log_{3}a}{\log_{3}\sqrt{3}}=2\cdot \frac{\log_{3}a}{\log_{3}3^{\frac{1}{2}}}=2\cdot \frac{\log_{3}a}{\frac{1}{2}}=4\log_{3}a;$
$\log_{9}\frac{1}{a}=\frac{\log_{3}\frac{1}{a}}{\log_{3}9}=\frac{\log_{3}\frac{1}{a}}{\log_{3}3^{2}}=-\frac{\log_{3}a}{2}.$
Thay các kết quả trên vào biểu thức $A$, ta được:
$A=-\log_{3}a-4\log_{3}a-\frac{\log_{3}a}{2}=-\frac{11}{2}\log_{3}a.$
Vậy $A=-\frac{11}{2}\log_{3}a$.