Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình a) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng $80 cm$, mặt cắt được mô tả ở Hình b. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.
a) Gọi $S$ là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của $ x$ và viết công thức tính $ S$ theo $ x$.
b) Với $x$ đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em?
Xem lời giải
Lời giải
a) Do tấm kim loại có bề rộng $80 cm$ nên ta có: $ 2x+y=80\Leftrightarrow y=80-2x$.
Để có thể thiết kế được máng trượt thì $y>0\Leftrightarrow 80-2x>0\Leftrightarrow x < 40$. Suy ra $ 0 < x < 40$.
Diện tích của mặt cắt máng trượt là: $S=xy=x(80-2x)=-2x ^{2} +80x$.
b) Ta có: $S(x)=-2x ^{2} +80x$ với $ x\in (0;40)$;
$S ^{′} (x)=-4x+80; \\ S ^{′} (x)=0\Leftrightarrow -4x+80=0\Leftrightarrow x=20.$
Bảng biến thiên của hàm số $S(x)$ như sau:
Do đó, hàm số $S(x)$ đạt cực đại tại $ x=20$ và $ S_{CĐ} =800$.
Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì $x=20( cm)$.
