Hình mô tả một dầm dài $L$, có trọng lượng đều $ w$ trên mỗi đơn vị độ dài, được cố định cứng ở một đầu và gối lên ở đầu kia. Phương trình đường cong võng (đường nét đứt trong hình) là $ y=\frac{w}{48EI}\left ( { 2x ^{4} -5Lx ^{3} +3L ^{2} x ^{2} } \right )$
trong đó tích $EI$ là một hằng số gọi là độ cứng uốn của dầm. Chứng minh rằng độ võng cực đại (khoảng cách từ đường thẳng ban đầu đến đường cong võng) xảy ra tại $ x=\frac { 15-\sqrt{ 33 } } { 16 }L\approx 0.578L$ và có độ lớn xấp xỉ $ 0,0054\frac { wL ^{4} } { EI }$
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $f(x)=-\frac{w}{48EI}\left ( { 2x ^{4} -5Lx ^{3} +3L ^{2} x ^{2} } \right )$ là hàm cho độ võng (khoảng dịch chuyển $ y$ theo chiều âm của trục $ x$).
Có $f ^{′} (x)=-\frac{w}{48EI}\left ( { 8x ^{3} -15Lx ^{2} +6L ^{2} x } \right )=-\frac{w}{48EI}x\left ( { 8x ^{2} -15Lx+6L ^{2} } \right ).$
$f ^{′} (x)=0$: $ -\frac{w}{48EI}x\left ( { 8x ^{2} -15Lx+6L ^{2} } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ 8x ^{2} -15Lx+6L ^{2} =0 \right..$
Giải phương trình được:$x=\frac { 15L\pm \sqrt{ 225L ^{2} -192L ^{2} } } { 16 }=\frac { 15L\pm \sqrt{ 33 }L } { 16 }.$
Vì $\frac { 15+\sqrt{ 33 } } { 16 }L>L,$ nên nghiệm duy nhất nằm trong khoảng $(0,L)$ là $ x=\frac { 15-\sqrt{ 33 } } { 16 }L\approx 0,578L$
Kết quả cho thấy độ võng cực đại là $f\left ( { \frac { 15-\sqrt{ 33 } } { 16 }L } \right )\approx -0,0054\frac { wL ^{4} } { EI }$
tức độ lớn của võng (khoảng độ lệch) xấp xỉ $0,0054\frac { wL ^{4} } { EI }$
