Một thùng nặng $W$ lb chứa thiết bị văn phòng, được kéo bằng sợi dây tạo góc $\theta$ so với phương ngang. Lực bật để kéo thùng chuyển động có độ lớn $ F(\theta )=\frac{\mu W}{\mu \sin \theta +\cos \theta},\quad 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2},$ với $ \mu$ là hệ số ma sát tĩnh.
a. Tìm góc $\theta$ để $ F(\theta )$ đạt cực tiểu.
b. Giá trị $F$ tại góc đó là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
a) Tránh tính đạo hàm phức tạp, ta nhận thấy muốn $F$ nhỏ nhất thì mẫu số $ D(\theta )=\mu \sin \theta +\cos \theta$ phải lớn nhất.
Tính đạo hàm: $D ^{′} (\theta )=\mu \cos \theta -\sin \theta$
Giải $D ^{′} (\theta )=0$:$ \mu \cos \theta =\sin \theta \Rightarrow \tan \theta =\mu \Rightarrow \theta =\arctan (\mu ).$
Lập bảng biến thiên ta được hàm số $D(\theta )=\mu \sin \theta +\cos \theta$ đạt cực đại tại $ \theta =\arctan (\mu ).$
Hay $F(\theta )$ đạt cực tiểu tại $ \theta =\arctan (\mu ).$
b) Giá trị $F$ tại $ \theta =\arctan \mu$.
Khi $\theta =\arctan \mu$, ta có $ \sin \theta =\frac { \mu } { \sqrt{ 1+\mu ^{2} } },\cos \theta =\frac { 1 } { \sqrt{ 1+\mu ^{2} } }$
Thế vào: $D_{max} =\mu \sin \theta +\cos \theta =\frac { \mu ^{2} +1 } { \sqrt{ 1+\mu ^{2} } }=\sqrt{ 1+\mu ^{2} }$
Do đó $F_{min} =\frac { \mu W } { D_{max} }=\frac { \mu W } { \sqrt{ 1+\mu ^{2} } }$
