Bài tự luận · Bài 14
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 14
(KNTT12) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $G$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})$;
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$.
a) $\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})$;
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}$, suy ra $2\overrightarrow{GM}=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM})=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})$. Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=0$. Do đó $2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$ hay $\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})$.
b) Ở câu a, ta đã chứng minh được $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$. Tương tự, ta có $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})$. Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=0$, suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$.