Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 14
Một người muốn làm một thùng chứa hình trụ có nắp, có dung tích $500\,dm^3$. Cần chọn bán kính đáy và chiều cao của thùng bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất? Biết đáy và mặt xung quanh của thùng có độ dày như nhau và xác định trước.
Xem lời giải
Lời giải
Do thể tích thùng bằng $500\,dm^3$ nên $V=\pi R^2h=500\Rightarrow h=\frac{500}{\pi R^2}$.
Diện tích xung quanh của thùng là
$S=2\pi Rh+2\pi R^2=2\pi R\cdot\frac{500}{\pi R^2}+2\pi R^2=\frac{1000}{R}+2\pi R^2\ (R>0)$
Ta có $S'(R)=-\frac{1000}{R^2}+4\pi R$.
$S'(R)=0\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}=5\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}$ dm.
Lập bảng biến thiên, ta thấy $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $R=5\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\approx4,3$ dm. Khi đó $h\approx8,6$ dm.
