(Sở Ninh Bình 2025) Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 25 phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng thưởng là $ \frac { a } { b } $ ($ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Tính $ S=b-a $.

Số cách bốc ngẫu nhiên 5 phiếu trong 25 phiếu là: $ C_{ 25 } ^{ 5 } $. Từ số 1 đến 25, ta có 12 phiếu là số chẵn và 13 phiếu là số lẻ. Xét các số chẵn có dạng $ 2n $ (với $ n $ là số nguyên), bình phương lên ta được $ 4n ^ { 2 } $ là 1 số chia hết cho 4. Tương tự, xét số lẻ có dạng $ 2n+1 $ (với $ n $ là số nguyên), bình phương lên ta được $ 4n ^ { 2 } +4n+1 $ là 1 số chia 4 dư 1. Như vậy, để bốc ngẫu nhiên 5 phiếu mà tổng bình phương các số trên phiếu chia hết cho 4 thì ta có 2 trường hợp. TH1: 5 phiếu được bốc đều là số chẵn, số cách bốc: $ C_{ 12 } ^{ 5 } $. TH2: 4 phiếu là số lẻ và 1 phiếu là số chẵn, số cách bốc: $ C_{ 13 } ^{ 4 }⋅C_{ 12 } ^{ 1 } $. Xác suất để bạn Hoa trúng thưởng là: $ \frac { C_{ 12 } ^{ 5 }+C_{ 13 } ^{ 4 }⋅C_{ 12 } ^{ 1 } } { C_{ 25 } ^{ 5 } }=\frac { 142 } { 805 } $ Như vậy $ \left \{ \begin{array}{l} a=142 \\ b=805 \end{array} \right. $ suy ra $ S=b-a=663 $