(Sở Thái Nguyên 2025) Có $ 8 $ học sinh lớp $ 11 $ và $ 3 $ học sinh lớp $ 12 $ được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để khi xếp ngẫu nhiên $ 11 $ học sinh đó sao cho không có $ 2 $ học sinh nào lớp $ 12 $ đứng cạnh nhau bằng $ \frac { a } { b } $ (với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Khi đó $ a+2b $ bằng bao nhiêu?

$ n\left ( { Ω } \right )=11! $. Gọi $ A $ là biến cố: “Không có $ 2 $ học sinh nào lớp $ 12 $ đứng cạnh nhau”. Xếp $ 8 $ học sinh lớp $ 11 $ có $ 8! $ cách xếp. Suy ra giữa $ 8 $ học sinh lớp $ 11 $ có $ 9 $ khoảng trống. Chọn $ 3 $ khoảng trống và xếp $ 3 $ học sinh lớp $ 12 $ vào có $ A_{ 9 } ^{ 3 } $ cách Suy ra $ n\left ( { A } \right )=8!⋅A_{ 9 } ^{ 3 } $. Vậy $ P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 28 } { 55 } $. Suy ra $ a+2b=28+2⋅55=138 $.