Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau: Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $M(0; 2; 2)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của $A'B'$. Biết $C'(6; 5; 4)$. Khi đó:

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(ADD')$. Đúng. b. Tọa độ điểm $P$ là $P(3; 0; 5)$. Sai. c. Mặt phẳng $(PCD')$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(10; -6; 15)$. Sai. d. $N$ là điểm di động trên đoạn $AA'$. Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$ kéo đến điểm $N$ rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện tối thiểu bằng $\sqrt{29}$. Đúng. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Lời giải a) Theo giả thiết $O$ trùng với điểm $A$. Mặt phẳng $(ADD')$ mở rộng là mặt phẳng $Oyz$. Vì $M(0; 2; 2)$ thuộc mặt phẳng $Oyz$ nên điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(ADD')$. b) Ta có $C'(6; 5; 4) \Rightarrow \vec{OB} = 6\vec{i}$, $\vec{OD} = 5\vec{j}$, $\vec{OA'} = 4\vec{k}$. $\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OB} + \vec{OA'} = \frac{1}{2}\cdot 6\vec{i} + 4\vec{k} = 3\vec{i} + 4\vec{k}$. Suy ra tọa độ điểm $P(3; 0; 4)$. c) $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} = 6\vec{i} + 5\vec{j} \Rightarrow C(6; 5; 0)$. $\vec{OD'} = \vec{OD} + \vec{OA'} = 5\vec{j} + 4\vec{k} \Rightarrow D'(0; 5; 4)$. $\vec{PC}(3; 5; -4)$ và $\vec{PD'}(-3; 5; 0)$. Ta có $\vec{n} = [\vec{PC}, \vec{PD'}] = (20; 12; 30)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(PCD')$ cùng phương với $(10; 6; 15)$. d) $N$ thuộc đoạn $AA'$ nên gọi $N(0; 0; z)$ với $0 \leq z \leq 4$. Độ dài dây cấp điện $T = MN + NP = \sqrt{4 + (z-2)^2} + \sqrt{9 + (z-4)^2}$. Đặt hàm số $f(z) = \sqrt{4 + (z-2)^2} + \sqrt{9 + (z-4)^2}$. Tính đạo hàm và giải $f'(z)=0$, ta tìm được $z = \frac{14}{5}$. Với $z = \frac{14}{5}$, ta có $T = \sqrt{29}$.

Cùng dạng: Vectơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng ax + by + cz + d = 0