Bài tự luận · Bài 26
Bài tự luận Tích phân · Bài 26
Tính các tích phân sau:
a) $ \int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +x-2 } \right | }dx $
b) $ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { e ^ { x } -1 } \right | }dx $
a) $ \int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +x-2 } \right | }dx $
b) $ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { e ^ { x } -1 } \right | }dx $
Xem lời giải
Lời giải
a) $ x ^ { 2 } +x-2=0\Leftrightarrow x=1 $ hoặc $ x=-2\notin[-1;2] $.
Ta có $ x ^ { 2 } +x-2\leq 0 $ với mọi $ x\in [-1;1] $ và $ x ^ { 2 } +x-2\geq 0 $ với mọi $ x\in [1;2] $.
Từ đó, $ \int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +x-2 } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ -\left ( { x ^ { 2 } +x-2 } \right ) \right] }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } +x-2 } \right ) }dx =-\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-2x } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-2x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 31 } { 6 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
b) Ta có $ e ^ { x } -1=0\Leftrightarrow x=0 $.
Ta có $ e ^ { x } -1\leq 0 $ với mọi $ x\in [-1;0] $ và $ e ^ { x } -1\geq 0 $ với mọi $ x\in [0;1] $.
Từ đó, $ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { e ^ { x } -1 } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 1-e ^ { x } } \right ) }dx+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { e ^ { x } -1 } \right ) }dx =\left | { \left ( { x-e ^ { x } } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { \left ( { e ^ { x } -x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=e+\frac { 1 } { e }-2{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Ta có $ x ^ { 2 } +x-2\leq 0 $ với mọi $ x\in [-1;1] $ và $ x ^ { 2 } +x-2\geq 0 $ với mọi $ x\in [1;2] $.
Từ đó, $ \int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +x-2 } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ -\left ( { x ^ { 2 } +x-2 } \right ) \right] }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } +x-2 } \right ) }dx =-\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-2x } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-2x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 31 } { 6 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
b) Ta có $ e ^ { x } -1=0\Leftrightarrow x=0 $.
Ta có $ e ^ { x } -1\leq 0 $ với mọi $ x\in [-1;0] $ và $ e ^ { x } -1\geq 0 $ với mọi $ x\in [0;1] $.
Từ đó, $ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { e ^ { x } -1 } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 1-e ^ { x } } \right ) }dx+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { e ^ { x } -1 } \right ) }dx =\left | { \left ( { x-e ^ { x } } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { \left ( { e ^ { x } -x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=e+\frac { 1 } { e }-2{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $