Bài tự luận · Bài 10
Dạng 2. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=g(x)$
Bài tự luận Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 10
(KNTT10) Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{2x^2+7x+1}=\sqrt{3x^2+4x-9}$ (3)
b) $\sqrt{5x^2-5x}=2x-1$ (4)
a) $\sqrt{2x^2+7x+1}=\sqrt{3x^2+4x-9}$ (3)
b) $\sqrt{5x^2-5x}=2x-1$ (4)
Xem lời giải
Lời giải
a) Bình phương hai vế của (3) và thu gọn ta được $x^2-3x-10=0$. Từ đó $x=-2$ và $x=5$.
- Thay $x=-2$ vào phương trình đã cho:
$\sqrt{2(-2)^2+7(-2)+1}=\sqrt{3(-2)^2+4(-2)-9}$ hay $\sqrt{-5}=\sqrt{-5}$, vô lí.
- Thay $x=5$ vào phương trình đã cho: $\sqrt{2\cdot 5^2+7\cdot 5+1}=\sqrt{3\cdot 5^2+4\cdot 5-9}$ hay $\sqrt{86}=\sqrt{86}$, thoả mãn.
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=5$.
b) Bình phương hai vế của (4) và thu gọn ta được $x^2-x-1=0$. Từ đó
$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
- Thay $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ vào vế phải của phương trình (4) ta được: $2\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1=-\sqrt{5}<0$.
- Thay $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ vào vế phải của phương trình (4) ta được: $2\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\sqrt{5}>0$.
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
- Thay $x=-2$ vào phương trình đã cho:
$\sqrt{2(-2)^2+7(-2)+1}=\sqrt{3(-2)^2+4(-2)-9}$ hay $\sqrt{-5}=\sqrt{-5}$, vô lí.
- Thay $x=5$ vào phương trình đã cho: $\sqrt{2\cdot 5^2+7\cdot 5+1}=\sqrt{3\cdot 5^2+4\cdot 5-9}$ hay $\sqrt{86}=\sqrt{86}$, thoả mãn.
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=5$.
b) Bình phương hai vế của (4) và thu gọn ta được $x^2-x-1=0$. Từ đó
$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
- Thay $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ vào vế phải của phương trình (4) ta được: $2\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1=-\sqrt{5}<0$.
- Thay $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ vào vế phải của phương trình (4) ta được: $2\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\sqrt{5}>0$.
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.