Cho cấp số cộng $\left( {u_{n}} \right)$. Biết $S_{5n+1} + S_{n} = \frac{26n^{2} + 22n + 3}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, chọn khẳng định đúng/sai:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải Với $n=1$, ta có: $$ S_{6} + S_{1} = \frac{26(1)^{2} + 22(1) + 3}{2} = \frac{51}{2} $$ Với $n=2$, ta có: $$ S_{11} + S_{2} = \frac{26(2)^{2} + 22(2) + 3}{2} = \frac{104 + 44 + 3}{2} = \frac{151}{2} $$ Ta có hệ phương trình: $$ \left\{ \begin{array}{l} S_{6} + S_{1} = \frac{51}{2} \\ S_{11} + S_{2} = \frac{151}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{6(2u_{1} + 5d)}{2} + u_{1} = \frac{51}{2} \\ \frac{11(2u_{1} + 10d)}{2} + 2u_{1} + d = \frac{151}{2} \end{array} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 14u_{1} + 30d = 51 \\ 26u_{1} + 112d = 151 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_{1} = \frac{3}{2} \\ d = 1 \end{array} \right. $$ Số hạng tổng quát: $$ u_{n} = u_{1} + (n-1)d = \frac{3}{2} + n - 1 = \frac{1 + 2n}{2} $$ Xét biểu thức $S_{n} - S_{5n} = -12n^{2} - 4n$. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất là $-75$ (nó tiến tới $-\infty$ khi $n$ tăng).