Cho hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ có cạnh bằng $ 6m $. Ta lấy trung điểm các cạnh hình vuông $ ABCD $ để tạo thành hình vuông mới $ A_{ 2 } B_{ 2 } C_{ 2 } D_{ 2 } $. Từ hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ lại làm như trên ta được các dãy hình vuông $ A_{ 3 } B_{ 3 } C_{ 3 } D_{ 3 } ,....A_{ k } B_{ k } C_{ k } D_{ k } $. Gọi $ S_{ i } $ là diện tích của hình vuông $ A_{ i } B_{ i } C_{ i } D_{ i } ,i\in \{1;2;3..k\} $. Đặt $ T=S_{ 1 } +S_{ 2 } +....+S_{ k } $. Biết $ T=69,75 $ Tìm $ k $.

Gọi độ dài cạnh hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ là $ a_{ 1 } $,diện tích hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ là $ S_{ 1 } =a ^ { 2 } $, khi đó cạnh của hình vuông $ A_{ 2 } B_{ 2 } C_{ 2 } D_{ 2 } $ là $ a_{ 2 } =\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a_{ 1 } $ nên diện tích hình vuông $ A_{ 2 } B_{ 2 } C_{ 2 } D_{ 2 } $ là: $ S_{ 2 } =(\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a_{ 1 } ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }a_{ 1 } ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }S_{ 1 } $. Cạnh của hình vuông $ A_{ 3 } B_{ 3 } C_{ 3 } D_{ 3 } $ là: $ a_{ 3 } =\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a_{ 2 } $ nên diện tích hình vuông $ A_{ 3 } B_{ 3 } C_{ 3 } D_{ 3 } $ là: $ S_{ 3 } =(\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a_{ 2 } ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }a_{ 2 } ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }S_{ 2 } $. Tương tự ta có các $ S_{ 1 } ,S_{ 2 } ,...S_{ k } $ tạo thành một cấp số nhân có $ u_{ 1 } =S_{ 1 } $ và công bội $ q=\frac { 1 } { 2 } $. Khi đó ta có: $ T=S_{ k } =\frac { u_{ 1 } (q ^ { k } -1) } { q-1 }=\frac { 36.((\frac { 1 } { 2 }) ^ { k } -1) } { \frac { 1 } { 2 }-1 }=69,75 $ $ ⇔k=5 $.