Cho hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ có cạnh bằng 1. Gọi $ A_{ k+1 } $, $ B_{ k+1 } $, $ C_{ k+1 } $, $ D_{ k+1 } $ thứ tự là trung điểm các cạnh $ A_{ k } B_{ k } $, $ B_{ k } C_{ k } $, $ C_{ k } D_{ k } $, $ D_{ k } A_{ k } $ (với $ k=1,\,\,2,\,...). $ Gọi chu vi của hình vuông $ A_{ 2024 } B_{ 2024 } C_{ 2024 } D_{ 2024 } $ là $ a $. Hãy tính $ 2 ^ { 1010 } a $ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi cạnh của hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ là $ x $ thì $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ có đường chéo bằng $ x\sqrt[] { 2 } $ $ ⇒ $ Cạnh của hình vuông $ A_{ 2 } B_{ 2 } C_{ 2 } D_{ 2 } $ bằng $ x.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Tương tự như vậy ta có cạnh của hình vuông $ A_{ 3 } B_{ 3 } C_{ 3 } D_{ 3 } $ bằng $ \left ( { x.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ).\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=x.\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } $. Cạnh của hình vuông $ A_{ 4 } B_{ 4 } C_{ 4 } D_{ 4 } $ bằng $ x\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } .\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=x.\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 3 } $. ………………… Vậycác cạnh của hình vuông tạo thành một cấp số nhân có $ u_{ 1 } =x=1 $, công bội $ q=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $ nên độ dài cạnh của hình vuông $ A_{ 2024 } B_{ 2024 } C_{ 2024 } D_{ 2024 } $là $ u_{ 2024 } =1.\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2023 } $. Do vậy chu vi hình vuông đó là: $ a=4u_{ 2024 } =4.\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2023 } ⇒2 ^ { 1010 } .a≈1,41 $.