Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước $6\text{m} \times 6\text{m}$ bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (tham khảo hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 6 lần. Tính số tiền sơn người thợ thủ công đó phải mua để hoàn thành công việc trang trí hình vuông như trên. Biết tiền nước sơn để sơn $1\text{m}^{2}$ là $60.000$ đồng và tiền sơn phải trả tính bằng đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải Xét trong một hình vuông, diện tích 2 hình tam giác được tô màu bằng $\frac{1}{4}$ diện tích hình vuông đó. Hình vuông mới được vẽ bằng cách nối trung điểm các cạnh có diện tích bằng $\frac{1}{2}$ diện tích hình vuông ban đầu. Đánh số các hình vuông từ ngoài vào trong là $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Gọi diện tích hình vuông thứ $n$ là $S_{n}$, diện tích tam giác có cạnh nằm trên các cạnh của hình vuông thứ $n$ là $u_{n}$, ta có: $$ u_{1} = \frac{S_{1}}{4} = 9 $$ $$ S_{2} = \frac{1}{2}S_{1}, \quad u_{2} = \frac{S_{2}}{4} = \frac{S_{1}}{8} = \frac{9}{2} $$ Diện tích các tam giác tạo thành cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{2}$. Tổng diện tích các tam giác là: $$ S = 9 \cdot \frac{1 - \Big(\frac{1}{2}\Big)^{6}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{567}{32} \; (\text{m}^{2}) $$ Số tiền sơn cần mua là: $$ \frac{567}{32} \cdot 60.000 \approx 1.063.125 \; (\text{đồng}) $$ Vậy số tiền cần phải mua là 1,06 triệu đồng.