Ở một công viên người ta trồng một số loài hoa hai bên đường từ cổng vào công viên sao cho các cây được trồng thẳng 2 hàng dọc và khoảng cách giữa các cây ở mỗi hàng bằng $1$ mét. Họ trồng tất cả 10 loài hoa trong đó có 100 cây hoa cúc và 100 cây hoa huệ. Những cây hoa cúc được trồng ở hàng bên phải, cây hoa cúc đầu tiên được trồng ở vị trí thứ tư của hàng và cứ cách 3 cây hoa khác lại trồng 1 cây hoa cúc. Những cây hoa huệ được trồng ở hàng bên trái, cây hoa huệ đầu tiên được trồng ở vị trí thứ nhất và cứ cách 5 cây hoa khác lại trồng 1 cây hoa huệ. Hỏi có bao nhiêu cặp cây hoa cúc và cây hoa huệ được trồng thẳng hàng ngang?

Lời giải Số vị trí trồng cây hoa cúc lập thành một cấp số cộng gồm 100 số hạng, với số hạng đầu $a_{1} = 4$ và công sai $d = 3$. Số hạng tổng quát: $$ a_{n} = 4 + (n - 1) \cdot 3 = 3n + 1, \quad (1 \leq n \leq 100) $$ Số vị trí trồng cây hoa huệ lập thành một cấp số cộng gồm 100 số hạng, với số hạng đầu $b_{1} = 1$ và công sai $d = 5$. Số hạng tổng quát: $$ b_{m} = 1 + (m - 1) \cdot 5 = 5m - 4, \quad (1 \leq m \leq 100) $$ Để tìm các cặp cây hoa cúc và hoa huệ trồng thẳng hàng ngang, ta tìm các số có mặt đồng thời trong cả hai cấp số cộng trên: $$ 3n + 1 = 5m - 4 \Leftrightarrow 3n = 5(m - 1) $$ Vì $3n = 5(m - 1)$ nên $n \vdots 5$. Đặt $n = 5k$, ta có $15k = 5(m - 1) \Rightarrow 3k = m - 1 \Rightarrow m = 3k + 1$. Kết hợp điều kiện $1 \leq m \leq 100$: $$ 1 \leq 3k + 1 \leq 100 \Leftrightarrow 0 \leq 3k \leq 99 \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 33 $$ Vì $n = 5k$ và $1 \leq n \leq 100 \Rightarrow 1 \leq 5k \leq 100 \Rightarrow 1 \leq k \leq 20$. Vậy có 20 giá trị $k$ thỏa mãn ($k \in \{1, 2, ..., 20\}$), tương ứng với 20 cặp cây thẳng hàng.