Cho đường cong $ y=x ^ { 2 } $. Trên đường cong lấy điểm $ P\left ( { t,t ^ { 2 } } \right ) $ với $ t>0 $, và lấy $ O $ là gốc tọa độ. Gọi $ M $ là trung điểm của đoạn $ OP $. Đường thẳng qua $ M $ song song với trục $ Ox $ cắt đường cong $ y=x ^ { 2 } $ tại hai điểm $ A,B $. Tính $ \lim\limits_{ t→0 ^ { + } } \frac { AB } { OP } $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Ta có được đường thẳng qua $ M $ song song với trục $ Ox $ cắt đường cong $ y=x ^ { 2 } $ tại hai điểm $ A,B $ là: $ y=\frac { t ^ { 2 } } { 2 } $. Phương trình hoành độ giao điểm: $ \frac { t ^ { 2 } } { 2 }=x ^ { 2 } ⇒x_{ A } =-\frac { t } { \sqrt[] { 2 } },x_{ B } =\frac { t } { \sqrt[] { 2 } } $ Suy ra: $ AB=2\frac { t } { \sqrt[] { 2 } }=t\sqrt[] { 2 } $, $ OP=\sqrt[] { t ^ { 2 } +t ^ { 4 } }=\sqrt[] { t ^ { 2 } (1+t ^ { 2 } ) }=t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } $ Khi đó $ \lim\limits_{ t→0 ^ { + } } \frac { AB } { OP }=\frac { t\sqrt[] { 2 } } { t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 1 }=\sqrt[] { 2 }≈1,41 $