Bài tập nâng cao · Bài 15
Dạng 3. Tìm tham số để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 15
Hãy tìm tất cả của tham số $ e $ để hàm số $ y=3x ^ { 4 } +2x ^ { 3 } +ex $ có đúng ba điểm cực trị
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ y'=12x ^ { 3 } +6x ^ { 2 } +e $ Xét phương trình $ 12x ^ { 3 } +6x ^ { 2 } =-e $. (1)
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ phải có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $ g\left ( { x } \right )=12x ^ { 3 } +6x ^ { 2 } $
Bảng biến thiên của $ g\left ( { x } \right ) $
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có 3 nghiệm phân biệt khi $ 0 < -e < \frac { 2 } { 9 }\Leftrightarrow -\frac { 2 } { 9 } < e < 0 $.
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ phải có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $ g\left ( { x } \right )=12x ^ { 3 } +6x ^ { 2 } $
Bảng biến thiên của $ g\left ( { x } \right ) $
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có 3 nghiệm phân biệt khi $ 0 < -e < \frac { 2 } { 9 }\Leftrightarrow -\frac { 2 } { 9 } < e < 0 $.