Bài tập nâng cao · Bài 16
Dạng 4. Tìm tham số để hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có cực trị
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 16
(ĐHQG Hà Nội - 2020) Tìm tham số $ m $ để hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } -mx } { 1-x } $ có cực đại và cực tiểu
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện $ x\neq 1 $.
Ta có $ y=\frac { x ^ { 2 } -mx } { 1-x } $$ \Rightarrow y'=\frac { -x ^ { 2 } +2x-m } { \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2 } } $.
Hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } -mx } { 1-x } $ có cực đại và cực tiểu $ \Leftrightarrow y'=0 $ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua hai điểm đó $ \Leftrightarrow -x ^ { 2 } +2x-m=0 $ có hai nghiệm phân biệt khác $ 1 $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \Delta '>0 \\ -1+2-m\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 1-m>0 \\ m\neq 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m < 1 $.
Vậy $ m < 1 $ thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.
Ta có $ y=\frac { x ^ { 2 } -mx } { 1-x } $$ \Rightarrow y'=\frac { -x ^ { 2 } +2x-m } { \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2 } } $.
Hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } -mx } { 1-x } $ có cực đại và cực tiểu $ \Leftrightarrow y'=0 $ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua hai điểm đó $ \Leftrightarrow -x ^ { 2 } +2x-m=0 $ có hai nghiệm phân biệt khác $ 1 $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \Delta '>0 \\ -1+2-m\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 1-m>0 \\ m\neq 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m < 1 $.
Vậy $ m < 1 $ thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.