Bài tập nâng cao · Bài 13
Dạng 3. Tìm tham số để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 13
(Liên Trường - Nghệ An -2018) Tìm giá trị của tham số $ m $ để đồ thị hàm số $ y=x ^ { 4 } +2mx ^ { 2 } -1 $ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $ 4\sqrt[] { 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ y=x ^ { 4 } +2mx ^ { 2 } -1 $$ \Rightarrow y'=4x ^ { 3 } +4mx $.
$ y'=0 $$ \Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x ^ { 2 } =-m \right. $ (1).
Để đồ thị hàm số $ y=x ^ { 4 } +2mx ^ { 2 } -1 $ có ba điểm cực trị thì $ y'=0 $ phải có ba nghiệm phân biệt tức là $ m < 0 $.
Khi đó $ \left ( { 1 } \right )\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=±\sqrt[] { -m } \right. $ nên ta gọi $ A\left ( { 0;-1 } \right ) $, $ B\left ( { -\sqrt[] { -m };-m ^ { 2 } -1 } \right ) $, $ C\left ( { \sqrt[] { -m };-m ^ { 2 } -1 } \right ) $
Tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ nên $ S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 2 }AH.BC $ với $ H $ là trung điểm của $ BC $ nên $ H\left ( { 0;-m ^ { 2 } -1 } \right ) $. Nên: $ AH=\sqrt[] { \left ( { -m ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=m ^ { 2 } $ và $ BC=\sqrt[] { \left ( { 2\sqrt[] { -m } } \right ) ^ { 2 } }=2\sqrt[] { -m } $.
Ta có: $ S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 2 }.m ^ { 2 } .2\sqrt[] { -m } $ theo giả thiết $ S_{ \Delta ABC } =4\sqrt[] { 2 } $ nên $ m ^ { 2 } \sqrt[] { -m }=4\sqrt[] { 2 }\Leftrightarrow m=-2 $.
$ y'=0 $$ \Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x ^ { 2 } =-m \right. $ (1).
Để đồ thị hàm số $ y=x ^ { 4 } +2mx ^ { 2 } -1 $ có ba điểm cực trị thì $ y'=0 $ phải có ba nghiệm phân biệt tức là $ m < 0 $.
Khi đó $ \left ( { 1 } \right )\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=±\sqrt[] { -m } \right. $ nên ta gọi $ A\left ( { 0;-1 } \right ) $, $ B\left ( { -\sqrt[] { -m };-m ^ { 2 } -1 } \right ) $, $ C\left ( { \sqrt[] { -m };-m ^ { 2 } -1 } \right ) $
Tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ nên $ S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 2 }AH.BC $ với $ H $ là trung điểm của $ BC $ nên $ H\left ( { 0;-m ^ { 2 } -1 } \right ) $. Nên: $ AH=\sqrt[] { \left ( { -m ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=m ^ { 2 } $ và $ BC=\sqrt[] { \left ( { 2\sqrt[] { -m } } \right ) ^ { 2 } }=2\sqrt[] { -m } $.
Ta có: $ S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 2 }.m ^ { 2 } .2\sqrt[] { -m } $ theo giả thiết $ S_{ \Delta ABC } =4\sqrt[] { 2 } $ nên $ m ^ { 2 } \sqrt[] { -m }=4\sqrt[] { 2 }\Leftrightarrow m=-2 $.