Bài tập nâng cao · Bài 19
Dạng 5. Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 19
(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số $ y=\left | { x ^ { 4 } -2mx ^ { 2 } +2m-1 } \right | $với $ m $ là tham số thực. Tìm số giá trị nguyên trong khoảng $ \left[ -2;2 \right] $ của $ m $ để hàm số đã cho có $ 3 $ điểm cực trị
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 4 } -2mx ^ { 2 } +2m-1 $, $ f'\left ( { x } \right )=4x ^ { 3 } -4mx $, $ f'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x ^ { 2 } =m \right. $
+ Trường hợp 1: hàm số có một cực trị $ \Rightarrow m\in \left[ -2;0 \right] $.
Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có một điểm cực trị là $ A\left ( { 0;2m-1 } \right ) $.
Do $ m\in \left[ -2;0 \right] $$ \Rightarrow y_{ A } =2m-1 < 0 $ nên đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục hoành tại $ 2 $ điểm phân biệt nên hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } \right ) } \right | $ có $ 3 $ cực trị $ \Rightarrow $ có $ 3 $ giá trị nguyên của $ m $ thỏa ycbt.
+ Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị $ \Rightarrow m\in \left ( { 0;2 } \right ] $.
Khi đó đồ thị hàm số có $ 3 $ điểm cực trị là $ A\left ( { 0;2m-1 } \right ) $, $ B\left ( { \sqrt[] { m };-m ^ { 2 } +2m-1 } \right ) $, $ C\left ( { -\sqrt[] { m };-m ^ { 2 } +2m-1 } \right ) $.
Do $ a=1>0 $ nên hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } \right ) } \right | $ có $ 3 $ điểm cực trị khi hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có $ y_{ B } =y_{ C } \geq 0 $
$ \Leftrightarrow -m ^ { 2 } +2m-1\geq 0 $$ \Leftrightarrow m=1 $.
Nếu $ y_{ B } =y_{ C } < 0 $ (trong bài toán này không xảy ra) thì hàm số có ít nhất $ 5 $ điểm cực trị.
Vậy có $ 4 $ giá trị của $ m $ thỏa ycbt.
+ Trường hợp 1: hàm số có một cực trị $ \Rightarrow m\in \left[ -2;0 \right] $.
Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có một điểm cực trị là $ A\left ( { 0;2m-1 } \right ) $.
Do $ m\in \left[ -2;0 \right] $$ \Rightarrow y_{ A } =2m-1 < 0 $ nên đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục hoành tại $ 2 $ điểm phân biệt nên hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } \right ) } \right | $ có $ 3 $ cực trị $ \Rightarrow $ có $ 3 $ giá trị nguyên của $ m $ thỏa ycbt.
+ Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị $ \Rightarrow m\in \left ( { 0;2 } \right ] $.
Khi đó đồ thị hàm số có $ 3 $ điểm cực trị là $ A\left ( { 0;2m-1 } \right ) $, $ B\left ( { \sqrt[] { m };-m ^ { 2 } +2m-1 } \right ) $, $ C\left ( { -\sqrt[] { m };-m ^ { 2 } +2m-1 } \right ) $.
Do $ a=1>0 $ nên hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } \right ) } \right | $ có $ 3 $ điểm cực trị khi hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có $ y_{ B } =y_{ C } \geq 0 $
$ \Leftrightarrow -m ^ { 2 } +2m-1\geq 0 $$ \Leftrightarrow m=1 $.
Nếu $ y_{ B } =y_{ C } < 0 $ (trong bài toán này không xảy ra) thì hàm số có ít nhất $ 5 $ điểm cực trị.
Vậy có $ 4 $ giá trị của $ m $ thỏa ycbt.