Bài tập nâng cao · Bài 56
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 56
Gọi $M\left( x_M;y_M \right)$,( với $x_M>0$) là một điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=x^3-3x+1$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( x_N;y_N \right)$ (khác $M$). Gọi $k_1,\,k_2$ lần lượt là các hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$, $N$. Khi $k_1^2-k_2^2$ đạt giá trị lớn nhất thì $x_M$ thuộc khoảng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y=x^3-3x+1$ $\Rightarrow y'=3x^2-3$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là: $y=\left( 3x_M^2-3 \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M+1$.
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại $M$ và đồ thị $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:
$\left( 3x_M^2-3 \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M+1=x^3-3x+1$
$\Leftrightarrow \left( x-x_M \right)\left( x^2+x.x_M+x_M^2 \right)-3\left( x-x_M \right)-\left( 3x_M^2-3 \right)\left( x-x_M \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x-x_M \right)^2\left( x+2x_M \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=x_M \\ x=-2x_M \end{array} \right.$
Do $N\neq M$ nên $x_N=-2x_M$ và $x_M\neq 0$.
Khi đó, $k_1^2-k_2^2=\left( 3x_M^2-3 \right)^2-\left( 12x_M^2-3 \right)^2=-135x_M^4+54x_M^2$
$=-135\left( x_M^4-\frac{2}{5}x_M^2 \right)=-135\left( x_M^2-\frac{1}{5} \right)^2+\frac{27}{5}\leq \frac{27}{5}$
nên $k_1^2-k_2^2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{27}{5}$ khi $x_M^2=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x_M=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do $x_M>0$).
Vậy $x_M\in \left( 0;\,\frac{1}{2} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là: $y=\left( 3x_M^2-3 \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M+1$.
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại $M$ và đồ thị $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:
$\left( 3x_M^2-3 \right)\left( x-x_M \right)+x_M^3-3x_M+1=x^3-3x+1$
$\Leftrightarrow \left( x-x_M \right)\left( x^2+x.x_M+x_M^2 \right)-3\left( x-x_M \right)-\left( 3x_M^2-3 \right)\left( x-x_M \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x-x_M \right)^2\left( x+2x_M \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=x_M \\ x=-2x_M \end{array} \right.$
Do $N\neq M$ nên $x_N=-2x_M$ và $x_M\neq 0$.
Khi đó, $k_1^2-k_2^2=\left( 3x_M^2-3 \right)^2-\left( 12x_M^2-3 \right)^2=-135x_M^4+54x_M^2$
$=-135\left( x_M^4-\frac{2}{5}x_M^2 \right)=-135\left( x_M^2-\frac{1}{5} \right)^2+\frac{27}{5}\leq \frac{27}{5}$
nên $k_1^2-k_2^2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{27}{5}$ khi $x_M^2=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x_M=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do $x_M>0$).
Vậy $x_M\in \left( 0;\,\frac{1}{2} \right)$.