Bài tập nâng cao · Bài 55
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 55
Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số xác định với mọi $x\neq 1$. Ta có: $y'=\frac{-4}{(x-1)^2}$
Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác $y=\pm x$, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$ hay $y'(x_0)=\pm 1$. Mà $y' < 0, \forall x\neq 1$ nên ta có
$y'(x_0)=-1\Leftrightarrow $ $\frac{-4}{(x_0-1)^2}=-1\Leftrightarrow x_0=-1,x_0=3$
$\bullet$ $x_0=-1\Rightarrow y_0=0\Rightarrow \Delta :y=-x-1$
$\bullet$ $x_0=3\Rightarrow y_0=4\Rightarrow \Delta :y=-x+7$.
Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác $y=\pm x$, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$ hay $y'(x_0)=\pm 1$. Mà $y' < 0, \forall x\neq 1$ nên ta có
$y'(x_0)=-1\Leftrightarrow $ $\frac{-4}{(x_0-1)^2}=-1\Leftrightarrow x_0=-1,x_0=3$
$\bullet$ $x_0=-1\Rightarrow y_0=0\Rightarrow \Delta :y=-x-1$
$\bullet$ $x_0=3\Rightarrow y_0=4\Rightarrow \Delta :y=-x+7$.